FractieIreductibila Problemă rezolvată

Arătati că fractia următoare este ireductibilă pentru orice n număr natural:

Pentru a rezolva această problemă, trebuie sa stim ce inseamna "fractie ireductibila"

O fractie este ireductibila atunci cand fractia nu mai poate fi simplificata. Deoarece operatia de simplificare se poate efectua doar daca numaratorul si numitorul au divizori comuni, in cazul unei fractii ireductibile, numaratorul si numitorul nu au divizori comuni. Din aceasta rezulta ca numaratorul si numitorul sunt numere prime intre ele.

Deci, ceea ce trebuie demonstrat in aceasta problema se poate spune altfel: 7n+12 si 3n+5 sunt numere prime intre ele, sau nu au divizori comuni.

Prin reducere la absurd, de fapt, presupunem ca fractia ar fi reductibila. Din aceasta presupunere ar rezulta ca numaratorul si numitorul au un divizor comun. Vom nota acest divizor comun cu d, numar natural diferit de 1.

Inseamna ca

  1. numaratorul este divizibil prin d => 7n+12=d*m
  2. numitorul este divizibil prin d => 3n+5=d*n

Daca inmultim relatia 1. cu 3, vom avea 21n+36=3*d*m

Daca inmultim relatia 2. cu 7, vom avea 21n+35=7*d*n


Observam ca 21n+35=7*d*n şi 21n+36=3*d*m sunt doua numere consecutive. Oricare doua numere consecutive sunt prime intre ele.

Am demonstrat astfel ca 1 este singurul divizor comun al numaratorului si numitorului fractiei, deci fractia este ireductibila.